Question

2．抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且当x=0和x=2时y的值相等．直线y=2x-3经过抛物线的顶点，与抛物线的另一个交点的横坐标为3，求这条抛物线的解析式．

Answer 1

分析 首先根据当x=0和x=2时y的值相等，可得a与b的关系，由直线y=2x-3经过抛物线的顶点可得顶点坐标，由与抛物线的另一个交点的横坐标为3，易得这一交点坐标，设二次函数解析式为y=a（x-h）²+k，将顶点坐标和另一坐标代入解得a，可得解析式．

解答 解：∵当x=0和x=2时y的值相等，
∴c=4a+2b+c，
解得：b=-2a，
$-\frac{b}{2a}$=1，
∵直线y=2x-3经过抛物线的顶点，
∴x=$-\frac{b}{2a}$=1时，y=2×1-3=-1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-1），
∵直线y=2x-3与抛物线的另一个交点的横坐标为3，
∴x=3，y=2×3-3=3，
∴另一个交点的坐标为（3，3）
设二次函数解析式为y=a（x-1）²-1，
∴3=a（3-1）²-1，
解得：a=1，
∴这条抛物线的解析式为：y=（x-1）²-1．

点评 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，求得一次函数与二次函数的交点坐标是解答此题的关键．