Question

（1）如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD．BE与CD有什么数量关系？请说明理由；
（2）运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图②，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=100m，BC=150m，AC=AE，求BE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：（1）由正方形的性质就可以得出△ADC≌△ABE，就可以得出CD=BE；
（2）在AB的外侧作AD⊥AB，使AD=AB，连结CD，BD，就可以得出△ADC≌△ABE，就有CD=BE，在Rt△CDB中由勾股定理就可以求出CD的值，进而得出结论．

解答：解：（1）CD=BE．
理由：如图①∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；
（2）如图②，在AB的外侧作AD⊥AB，使AD=AB，连结CD，BD，
∴∠DAB=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠ABC=45°+45°=90°，
即∠DBC=90°．
∴∠CAE=90°，
∴∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE．
∵AB=100m，在直角△ABD中，由勾股定理，得
BD=100

2

．
∵BC=150m，在Rt△BDC中，由勾股定理，得
CD=

BC2+BD2

=50

17

m，
∴BE=50

17

m．
答：BE的长为50

17

m．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．