Question

6．如图1，将矩形ABCD（AB＜BC）先沿过点A的直线AF翻折，点D的对应点D′刚好落在边BC上，再将矩形ABCD沿过点A的直线AE翻折，使点B的对应点B′落在AD′上，EB′的延长线交AD于点H．
（1）若BC=2AB，请判断四边形AED′H的形状并说明理由；
（2）如图2，若点H与点D刚好重合，请判断△AEF的形状并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，求出AD′=2AB′，AB′=B′D′，根据平行线的性质得出∠HAD′=∠AD′E，∠AHE=∠HED′，根据AAS推出△AHB′≌△D′EB′，求出AH=D′E，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据矩形的性质得出AB=DC，∠B=∠C=90°，AD∥BC，根据全等三角形的判定得出△DD′B′≌△DD′C，△ABE≌△ECF，根据全等三角形的性质得出DB′=DC=AB=AB′，AE=EF，∠BAE=∠CEF，求出∠AEF=90°，即可得出答案．

解答 解：（1）四边形AED′H是菱形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，
∵AD=AD′，AB=AB′，BC=2AB，
∴AD′=2AB′，
即AB′=B′D′，
∵AD∥BC，
∴∠HAD′=∠AD′E，∠AHE=∠HED′，
在△AHB′和△D′EB′中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB′=∠D′EB′}\\{∠HAB′=∠ED′B′}\\{AB′=B′D′}\end{array}\right.$
∴△AHB′≌△D′EB′（AAS），
∴AH=D′E，
∵AH∥D′E，
∴四边形AED′H是平行四边形，
∵∠AB′E=∠B=90°，
即EH⊥AD′，
∴四边形AED′H是菱形；


（2）△AEF是等腰直角三角形，
理由是：如图2，连接DD′，FD′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ADD′=∠DD′C，
∵AD=AD′，
∴∠ADD′=∠AD′D，
∴∠DD′A=∠DD′C，
∴△DD′B′≌△DD′C，
∴DB′=DC=AB=AB′，
∵∠AB′D=90°，
∴∠B′DA=∠B′DA=∠AD′E=∠DED′=45°，
∴EB′=B′D′=BE=CD′，
∵∠AD′B+∠FD′C=90°，
∴∠FD′C=∠D′FC=45°，
∴CD′=CF=BE，
∵∠CED=∠CDE=45°，
∴EC=CD=AB，
∴△ABE≌△ECF，
∴AE=EF，∠BAE=∠CEF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
即∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定等知识点，能综合运用性质定理进行推理是解此题的关键．