Question

2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+2ax-3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线的对称轴及线段AB的长；
（2）抛物线的顶点为P，若∠APB=120°，求顶点P的坐标及a的值；
（3）若在抛物线上存在一点N，使得∠ANB=90°，结合图象，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令y=0得：ax²+2ax-3a=0，解关于x的方程可求得点A和点B的横坐标，然后可求得AB的长，利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴方程；
（2）如图1所示，利用抛物线的对称性可知：AH=2，∠APB=60°，然后可求得PH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，从而可的点P的坐标，最后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值；
（3）以AB为直径作⊙H，则点N在⊙H上，当点P在⊙H上或点P在⊙H外时，∠ANB=90°，故此HP≥2，接下来，依据HP≥2列不等式求解即可．

解答 解：（1）令y=0得：ax²+2ax-3a=0，即a（x+3）（x-1）=0，解得：x=-3或x=1，
∴A（-3，0）、B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，AB=4．
（2）如图1所示：

设抛物线的对称轴与x轴交于点H．
∵∠APB=120°，AB=4，PH在对称轴上，
∴AH=2，∠APB=60°．
∴PH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴点P的坐标为（-1，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
将点P的坐标代入得：-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=-4a，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（3）如图2所示：以AB为直径作⊙H．

∵当∠ANB=90°，
∴点N在⊙H上．
∵点N在抛物线上，
∴点N为抛物线与⊙H的交点．
∴点P在圆上或点P在圆外．
∴HP≥2．
∵将x=-1代入得：y=-4a．
∴HP=4a．
∴4a≥2，解得a≥$\frac{1}{2}$．
∴a的取值范围是a≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，找出∠ANB=90°的条件是解题的关键．