Question

9．如图，已知直线l：y=$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{4}$，点A，B的坐标分别是（1，0）和（6，0），点C在直线l上，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标为（1，$\frac{5}{3}$）或（6，$\frac{15}{4}$）或（$\frac{33}{13}$，$\frac{30}{13}$）．

Answer 1

分析 当A或B为直角顶点时，则可得C点的横坐标，再代入直线解析式可求得C点坐标；当C点为直角顶点时，可表示出AC、BC和AB的长，利用勾股定理可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标．

解答 解：
当A点为直角顶点时，
∵A点坐标为（1，0），
∴C点横坐标为1，
把x=1代入直线l解析式可得y=$\frac{5}{12}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{3}$，
∴C点坐标为（1，$\frac{5}{3}$）；
当B点为直角顶点时，同理可求得C点坐标为（6，$\frac{15}{4}$）；
当C点为直角顶点时，
∵点C在直线l上，
∴可设C点坐标为（x，$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{4}$），
∴AC²=（1-x）²+（$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{4}$）²，BC²=（6-x）²+（$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{4}$）²，且AB=6-1=5，
∵△ABC为直角三角形，
∴AC²+BC²=AB²，
∴（1-x）²+（$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{4}$）²+（6-x）²+（$\frac{5}{12}$x+$\frac{5}{4}$）²=25，整理可得2（$\frac{13}{6}$x-$\frac{11}{2}$）²=0，
解得x=$\frac{33}{13}$，代入可得y=$\frac{30}{13}$，
∴C点坐标为（$\frac{33}{13}$，$\frac{30}{13}$），
综上可知C点坐标为（1，$\frac{5}{3}$）或（6，$\frac{15}{4}$）或（$\frac{33}{13}$，$\frac{30}{13}$），
故答案为：（1，$\frac{5}{3}$）或（6，$\frac{15}{4}$）或（$\frac{33}{13}$，$\frac{30}{13}$）．

点评 本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，由△ABC为直角三角形可知有一个角为直角，从而得到相关的方程是解题的关键，注意分类讨论．