Question

（1）如图1，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于F．当∠B：∠D：∠F=2：4：x时，x=

 

．
（2）如图2所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点，则DE+EF+FD的最小值为

 

．
A.

12

5

          B.

24

5

        C.5            D.6

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）两次利用三角形的内角各为180°，可得到∠D+∠DEF=∠F+∠DCF（内角和都是180°，对顶角相等），∠B+∠BCF=∠F+∠BEF，再利用角相等可得到∠D、∠B、∠F三个角之间的关系，结合条件可求得x的值．
（2）作F关于AB、BC的对称点F′、F″，作AC关于AB、BC的对称线段，可以发现F′，F″是一个菱形对边上的关于中心B对称的对称点．容易发现，F′F″的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．根据菱形的性质即可求出DE+EF+FD的最小值．

解答：解：（1）如图1，∵∠D+∠DEF=∠F+∠DCF，（内角和都是180°，对顶角相等）
∠B+∠BCF=∠F+∠BEF，
又∵∠DEF=∠BEF，∠DCF=∠BCF，
∴∠D+∠B=2∠F，
∵∠B：∠D：∠F=2：4：x，
∴2+4=2x，
∴x=3．
故答案为：3；
（2）如图2，解答：作F关于AB、BC的对称点F′、F″，
则FD=F′D，FE=F″E．
DE+EF+FD=DE+F′D+F″E．
两点之间线段最短，可知当F固定时，DE+F′D+F″E的最小值就是线段F′F″的长．
于是问题转化：F运动时，F′F″什么时候最短．
F′，F″是关于B点对称的．
作AC关于AB、BC的对称线段，可以发现F′，F″是一个菱形对边上的关于中心B对称的对称点．
很容易发现，F′F″的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．

4×3×4

2

=5x
x=

24

5

，高是

24

5

，
故DE+EF+FD的最小值为

24

5

，
此时F在斜边上的高的垂足点，D、E在B点．
故答案为

24

5

．

点评：本题考查菱形的判定和性质及轴对称--最短路线问题的综合应用，有一定的难度．关键是确定F在斜边上的高的垂足点，D、E在B点．