Question

如图所示，抛物线y=ax²+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点。

（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）将点代入直线可得
所以直线的解析式为
当时，
所以B点的坐标为（1，3）
将B，C，O三点的坐标分别代入抛物线
可得
解得
所以所求的抛物线为。
（2）因ON的长是一定值，所以当P点为抛物线的顶点时，的面积最大，
又该抛物线的顶点坐标为，此时。
（3）存在
把代入直线得，所以点
把代入抛物线得或，所以点
设动点P坐标为（x，y），其中
则得

由即
解得或
舍去得
因此得
所以得点P存在，其坐标为（1，3）。