Question

11．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，求BD的长．

Answer 1

分析 先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．

解答 解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，
∴BD=DB′，AB′=AB=10．
如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．

设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′²=AF²+FB′²，即（6+x）²+（8-x）²=10²．
解得：x₁=2，x₂=0（舍去）．
∴BD=2．
如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．

∵AB′=10，AC=6，
∴B′E=4．
设BD=DB′=x，则CD=8-x．
在Rt△′BDE中，DB′²=DE²+B′E²，即x²=（8-x）²+4²．
解得：x=5．
∴BD=5．
综上所述，BD的长为2或5．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．