Question

已知：如图，直线y＝－x＋4与x轴相交于点A，与直线y＝x相交于点P．

(1)求点P的坐标．

(2)请判断△OPA的形状并说明理由．

(3)动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动(E不与点O、A重合)，过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．

求：①S与t之间的函数关系式．

②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)　1分 　　解得　2分 　　所以点P的坐标为(2，2) 　　(2)将y＝0代入y＝－x＋4，－x＋4＝0，所以x＝4，即OA＝4　4分 　　作PD⊥OA于D，则OD＝2，PD＝2， 　　∵tan∠POA＝＝，∴∠POA＝60°　5分 　　∵OP＝＝4 　　∴△POA是等边三角形．　6分 　　(3)①当0＜t≤4时，如下图， 　　在Rt△EOF中，∵∠EOF＝60°，OE＝t， 　　∴EF＝，OF＝，∴S＝·OF·EF＝　7分 　　当4＜t＜8时，如下图，设EB与OP相交于点C，易知：CE＝PE＝t－4，AE＝8－t， 　　∴AF＝4－，EF＝(8－t)，∴OF＝OA－AF＝4－(4－)＝， 　　∴S＝(CE＋OF)·EF＝(t－4＋t)×(8－t) 　　＝－t2＋4t－8　8分 　　②当0＜t≤4时，S＝，t＝4时，S最大＝2． 　　当4＜t＜8时，S＝－t2＋4t－8＝－(t－)2＋ 　　t＝时，S最大＝　9分