Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C且tan∠ACO=

1

3

，∠OBC=45°．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（t，0）为线段OB上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交BC于点N当△BMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，求点M坐标；
（3）在2）的条件下，延长MA交y轴于点D，在直线BC下方的抛物线上一点H，设H点的横坐标为m，直线AH、BH分别交y轴于点E、F，若EF：DF=4：3时，求m值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用锐角三角函数关系得出CO的长，进而利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出M（t，t-3），进而代入函数解析式求出即可；
（3）分别利用第一种情况点H在x轴上方时，得出△AKH∽△AOE，进而由△BKH∽△BOF，得出比例式求出即可，
第二种情况当点H在x轴的下方时，则△AKH∽△AOE，进而得出△BKH∽△BOF，得出比例式求出即可．

解答：解：（1）∵tan∠ACO=

1

3

，
∴

OA

OC

=

1

3

，
∴OC=3，
∴C（3，0），
∵∠OBC=45°，
∴OB=OC=3，
将A（1，0），B（3，0）代入抛物线解析式得：

a+b+3=0 9a+3b+3=0

    
解得

a=1 b=-4

，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；

（2）如图1，∵OC=OB，∴∠CBO=∠CBE=45°
∵△BMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，∠NBM=90°，
∴∠PBM=∠BMP=45°
∴PM=PB=3-t，
∴M（t，t-3），
t²-4t+3=t-3，
∴t₁=2，t₂=3（舍去），
∴M（2，-1）；

（3）第一种情况点H在x轴上方时，如图2，
由OA=AP，MP∥y轴，
∴△OAD≌△PAM
∴OD=MP=1，
过点H作HK∥y轴 设点H横坐标为m
∴△AKH∽△AOE，
∴

AK

OA

=

HK

OE

  
即

1-m

m2-4m+3

=

1

OE

，

m-1

-(m-3)(m-1)

=

1

OE

，
∴OE=3-m，
又∵HK∥OF
∴△BKH∽△BOF，
∴

BK

OB

=

HK

OF

  即

3-m

3

=

m2-4m+3

OF

，

3-m

3

=

(m-3)(m-1)

OF

，
∴OF=3（1-m），
∴EF=OE-OF=2m，
DF=OF-OD=2-3m，
∴

EF

DF

=

4

3

，
∴

2m

2-3m

=

4

3

，
解得m =

4

9

；

第二种情况当点H在x轴的下方时，如图3，
∵△AKH∽△AOE，
∴

AK

OA

=

HK

OE

  
即

m-1

-(m2-4m+3)

=

1

OE

，
∴OE=3-m，
∴△BKH∽△BOF，
∴

BK

OB

=

HK

OF

  即

3-m

3

=

-(m2-4m+3)

OF

，
∴OF=3（m-1），
EF=OE+OF=2m，DF=3m-2，
∴

EF

DF

=

4

3

，
 

2m

3m-2

=

4

3

，
∴m =

4

3

，
综上所述：m =

4

9

或m =

4

3

．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及相似三角形的判定与性质和待定系数法求二次函数解析式等知识，利用分类讨论得出是解题关键．