Question

8．如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于H，且有BH=AC，HD=CD．
求证：（1）△BHD≌△ACD；（2）BE⊥AC．

Answer 1

分析 （1）因为AD为△ABC上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°，又因为BH=AC，HD=CD，则可根据HL判定△ADC≌△BDF；
（2）因为△ADC≌△BDH，则有∠EBC=∠DAC，又因为∠DAC+∠ACD=90°，所以∠EBC+∠ACD=90°，则BE⊥AC．

解答 证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ADC和△BDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{DC=DH}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BDH（HL）．

（2）∵△ADC≌△BDH，
∴∠EBC=∠DAC．
又∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠EBC+∠ACD=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC．

点评 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．发现并利用两个直角三角形全等是正确解决本题的关键，属于基础题，中考常考题型．