Question

已知抛物线y=-ax²+2ax+b与x轴的一个交点为A（-1，0），与y轴正半轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）当∠ACB=90°时，求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得△ABM和△ABC的面积相等（△ABM与△ABC重合除外）？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在第一象限内，抛物线上是否存在点N，使得△BCN的面积最大？若存在，求出这个最大值和点N坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴公式，对称轴x=-

2a

2(-a)

=1；
（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，△ABC为直角三角形，已知OA=1，OB=3，由△AOC∽△COB，利用相似比可求OC，即C点坐标，设抛物线解析式的交点式，将C点坐标代入即可；
（3）根据抛物线的对称性，可知在对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴下侧，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；
（4）设出点N的坐标为（m，n），过点N作ND⊥AB于点D，结合题意，用含m或n的式子表示出三角形面积，根据二次函数最值的性质即可得出面积的最大值．和此时N的值；

解答：解：（1）对称轴是：直线x=1；
点B的坐标是（3，0）．（2分）

（2）由∠ACB=∠AOC=∠COB=90°得△AOC∽△COB，
∴

AO

CO

=

CO

BO

，
∴CO=

3

，
∴b=

3

当x=-1，y=0时，-a-2a+

3

=0，
∴a=

3

3

，（4分）
∴y=-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

；

（3）点M的坐标是：（2，

3

），（1+

7

，-

3

）或（1-

7

，-

3

）；（8分）

（4）设点N的坐标为（m，n），则n=-

3

3

m2+

2 3

3

m+

3

，
过点N作ND⊥AB于点D，则有：

S△BCN=S梯形ODNC+S△BDN-S△OBC = 1 2 ( 3 +n)m+ 1 2 (3-m)n- 3 3 2 = 3 2 m+ 3 2 n- 3 3 2 =- 3 2 m2+ 3 3 2 m

=-

3

2

(m-

3

2

)2+

9 3

8

（10分）
∵-

3

2

＜0，
∴当m=

3

2

时，△BCN的面积最大，
最大值是

9 3

8

，点N的坐标为(

3

2

，

5 3

4

)（12分）

点评：本题考查了抛物线对称轴公式，抛物线对称性的运用，待定系数法求抛物线解析式的方法．综合运用了圆的对称性，直角三角形中的相似三角形的问题．