Question

2．己知如图，在梯形ABCD中，AB∥CD．AC、BD为对角线，MN∥CB．且与AB、DC分别相交于点M、N．与DB、AC分别相交于点P、Q．
（1）求证：MP=QN；
（2）如果AD=3，BC=7，AM：MB=3：2，求PQ的长．

Answer 1

分析 （1）由证明△AMP∽△ABC得到$\frac{MP}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，再证明△DQN∽△DBC得到$\frac{QN}{BC}$=$\frac{DQ}{DB}$，接着证明△BMQ∽△BAD得到$\frac{BM}{AB}$=$\frac{BQ}{BD}$，然后利用比例性质进行证明；
（2）由（1）中的已经证明的结论得到△BMQ∽△BAD，则可利用相似比计算出MQ=$\frac{6}{5}$，再利用$\frac{MP}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$可计算出MP=$\frac{21}{5}$，然后计算MP-MQ即可．

解答 （1）证明：∵PM∥BC，
∴△AMP∽△ABC，
∴$\frac{MP}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，
∵QN∥BC，
∴△DQN∽△DBC，
∴$\frac{QN}{BC}$=$\frac{DQ}{DB}$，
∵MQ∥AD，
∴△BMQ∽△BAD，
∴$\frac{BM}{AB}$=$\frac{BQ}{BD}$，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{DQ}{DB}$，
∴$\frac{MP}{BC}$=$\frac{QN}{BC}$，
∴MP=QN；
（2）解：由（1）中的结论得到△BMQ∽△BAD，
∴$\frac{MQ}{AD}$=$\frac{BM}{BA}$，即$\frac{MQ}{3}$=$\frac{2}{2+3}$，解得MQ=$\frac{6}{5}$，
∵$\frac{MP}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{MP}{7}$=$\frac{3}{3+2}$，解得MP=$\frac{21}{5}$，
∴PQ=MP-MQ=$\frac{21}{5}$-$\frac{6}{5}$=3．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是利用平行线构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质进行计算和判断线段之间的关系．