Question

如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则

DF

CF

=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,解直角三角形

专题：

分析：根据正方形及等边三角形的性质求得∠BFE的度数，再作CG⊥BD，根据解直角三角形求得GF、DG与CF的关键，进而求得

DF

CF

的值．

解答：解：∵∠CBA=90°，∠ABE=60°，
∴∠CBE=150°，
∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形
∴BC=BE，
∴∠BEC=15°，
∵∠FBE=∠DBA+∠ABE=105°，
∴∠BFE=60°，
∴∠DFC=60°，
作CG⊥BD，
∴FG=CF•cos60°=

1

2

CF，CG=CF•sin60°=

3

2

CF，
∵∠BDC=45°，
∴∠DCG=∠CDG=45°，
∴DG=CG=

3

2

CF，
∴DF=DG+FG=

1+ 3

2

CF，
∴

DF

CF

=

1+ 3

2

．
故答案为

1+ 3

2

．

点评：本题考查正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质及解直角三角形的综合运用．