Question

20．如图，直线y=-x+m与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点A，点C为OB上一点，点M为AB上一点，OM交AC于N，S_△ABC=4．
（1）求直线AB和直线AC的解析式；
（2）若S_△ONC=1，求点M的坐标；
（3）若S_△AMN=S_△ONC，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把B点坐标代入y=-x+m求出m的值，从而得到直线AB的解析式为y=-x+4，再求出A点坐标，接着利用三角形面积公式计算出BC，得到C（2，0），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）设（t，-2t+4），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•2•（-2t+4）=1，解得t=$\frac{3}{2}$，得到N（$\frac{3}{2}$，1），再利用待定系数法求出直线ON的解析式为y=$\frac{2}{3}$x，然后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$得M点坐标；
（3）由于S_△AMN=S_△ONC，则S_△ABC=S_△OMB=4，设M（x，-x+4），根据三角形面积公式得$\frac{1}{2}$•4•（-x+4）=4，然后解方程求出x即可得到M点坐标．

解答 解：（1）把B（4，0）代入y=-x+m得-4+m=0，解得m=4，
所以直线AB的解析式为y=-x+4，
当x=0时，y=-x+4=4，则A（0，4），
因为S_△ABC=4，
所以$\frac{1}{2}$BC•4=4，解得BC=2，则C（2，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（0，4），C（2，0）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以直线AC的解析式为y=-2x+4；
（2）设（t，-2t+4），
因为S_△ONC=1，
所以$\frac{1}{2}$•2•（-2t+4）=1，解得t=$\frac{3}{2}$，
所以N（$\frac{3}{2}$，1），
设直线ON的解析式为y=px，
把N（$\frac{3}{2}$，1）代入得$\frac{3}{2}$p=1，解得p=$\frac{2}{3}$，即直线ON的解析式为y=$\frac{2}{3}$x，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
所以M点坐标为（$\frac{12}{5}$，$\frac{8}{5}$）；
（3）因为S_△AMN=S_△ONC，
所以S_△ABC=S_△OMB=4，
设M（x，-x+4），
所以$\frac{1}{2}$•4•（-x+4）=4，解得x=2，
所以M点坐标为（2，2）．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．