题目内容

如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A点，若∠A=33°，∠DFE=63°．
（1）求证：∠DFE=∠A+∠D+∠E；
（2）求∠E的度数；
（3）若在上图中作∠CBE与∠GCE的平分线交于E₁，作∠CBE₁与∠GCE₁的平分线交于E₂，作∠CBE₂与∠GCE₂的平分线于E₃，以此类推，∠CBE_n与∠GCE_n的平分线交于E_n+l，请用含有n的式子表示∠E_n+l的度数（直接写答案）．

分析：（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得出∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，将第一式代入第二式即可得证；
（2）根据角平分线及三角形外角的性质得出∠ECG=

1

2

∠DCG=

1

2

（∠D+∠DBC），∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+

1

2

∠DBC，则∠D=2∠E，再利用上题结论∠DFE=∠A+∠D+∠E，将已知条件代入，即可求出∠E的度数；
（3）先根据角平分线及三角形外角的性质得出∠E₁=

1

2

∠E，同理得出∠E₂=

1

2

∠E₁，则∠E₂=

1

4

∠E=

1

22

∠E，由此得出规律∠E_n+l=

1

2n+1

∠E．

解答：（1）证明：∵∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，
∴∠DFE=∠A+∠D+∠E；

（2）解：∵∠DCG=∠D+∠DBC，CE平分∠DCG，
∴∠ECG=

1

2

∠DCG=

1

2

（∠D+∠DBC），
∵BE平分∠DBC，
∴∠EBC=

1

2

∠DBC，
∵∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+

1

2

∠DBC，
∴∠E+

1

2

∠DBC=

1

2

（∠D+∠DBC），
∴∠E=

1

2

∠D，
∴∠D=2∠E．
∵∠DFE=63°，∠A=33°，∠DFE=∠A+∠D+∠E，
∴∠D+∠E=∠DEF-∠A=63°-33°=30°，
∴2∠E+∠E=30°，
∴∠E=10°；

（3）∵∠ECG=∠E+∠EBC，CE₁平分∠ECG，
∴∠E₁CG=

1

2

∠ECG=

1

2

（∠E+∠EBC）．
∵BE₁平分∠EBC，
∴∠E₁BC=

1

2

∠EBC．
∵∠E₁CG=∠E₁+∠E₁BC=∠E₁+

1

2

∠EBC，
∴∠E₁+

1

2

∠EBC=

1

2

（∠E+∠EBC），
∴∠E₁=

1

2

∠E．
同理：∠E₂=

1

2

∠E₁，
∴∠E₂=

1

4

∠E=

1

22

∠E，
∴∠E_n+l=

1

2n+1

∠E．

点评：本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的外角的性质，（3）中得出∠E₁=

1

2

∠E，是解题的关键．

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