Question

杨城同学训练上楼梯赛跑，他每步可上2阶或3阶（但不上1阶，也不上4阶以上）．现共有16阶台阶，规定不许踏上第7阶，也不许踏上第13阶．那么杨城有（　　）种不同的上楼梯方法．（注：两种上楼梯方法，只要有某l阶楼梯的上法不相同，就算作不同的方法）

A、12

B、14

C、15

D、16

Answer 1

分析：如果设杨城同学上n阶楼梯有a_n种上法，n是正整数．根据已知条件，他每步可上2阶或3阶（但不上1阶，也不上4阶以上），易知a₁=0，a₂=1，a₃=1，a₄=1，a₅=2，a₆=2．考查a_n：把上n阶楼梯的方法分成两类，第一类是最后一步迈大步上3阶楼梯的上法，第二类是最后一步迈小步上2阶楼梯的上法，由加法原理知a_n等于两类上楼梯方法数之和．并且结合题目的规定不许踏上第7阶，也不许踏上第13阶，即a₇=0，a₁₃=0，从而求出a₁₆的值．

解答：解：采用递推的方法：
a₂=1（表示两阶楼梯只有一种上法），
a₃=1（表示三阶楼梯只有一种上法，下同），
a₄=1，
a₅=2，
a₆=2，
a₇=0，
a₈=（先上到5然后一步到8的方法数）+（先上到6然后一步到8的方法数）=2+2=4，
a₉=（先上到6然后一步到9的方法数）+（先上到7一步到9的方法数）=2+0=2，
a₁₀=（先上到8然后一步到10的方法数）+（先上到7一步到10的方法数）=4+0=4，
a₁₁=（先上到8然后一步到11的方法数）+（先上到9一步到11的方法数）=4+2=6，
a₁₂=（先上到9然后一步到12的方法数）+（先上到10一步到13的方法数）=2+4=6，
a₁₃=0，
a₁₄=（先上到11然后一步到14的方法数）+（先上到12一步到14的方法数）=6+6=12，
a₁₅=（先上到12然后一步到15的方法数）+（先上到13一步到15的方法数）=6+0=6，
a₁₆=（先上到13然后一步到16的方法数）+（先上到14一步到16的方法数）=0+12=12．
故选A．

点评：本题是规律性题目，主要考查了加法原理的应用，属于竞赛题型，有一定难度．解答此题的关键是能够根据所给的条件，分析出上n阶楼梯的方法有两类，而由加法原理知a_n等于两类上楼梯方法数之和．