Question

17．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过$\widehat{BC}$的中点P作PD⊥BC，垂足为点D，延长PD与⊙O交于点G，连接AG，CP，PB．
（1）如图1，若点D是线段OP的中点，求∠BAC的度数．
（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK．求证：四边形AGKC是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠BOD=60°，再证明AC∥PG即可解决问题．
（2）欲证明四边形AGKC是平行四边形，只要证明，AG=CK，AG∥CK即可．

解答 解：（1）∵AB为⊙O直径，$\widehat{PB}$=$\widehat{PC}$，
∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，
∵D是OP中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$OB，
∴cos∠BOD=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BOD=60°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB，
∴AC∥PG，
∴∠BAC=∠BOD=60°．

（2）在△CDK和△BDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=DB}\\{∠CDK=∠PDB}\\{DK=DP}\end{array}\right.$，
∴△CDK≌△BDP，
∴CK=PB，∠OPB=∠CKD，
∵∠AOG=∠BOP，
∴AG=BP，
∴AG=CK，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∵∠G=∠OPB，
∴∠G=∠CKP，
∴AG∥CK，
∴四边形AGCK是平行四边形．

点评 本题考查垂径定理、平行四边形的判定和性质、圆、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．