Question

4．如图，在正方形ABCD中，AB=6，动点M从点D出发，沿着射线CD方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着射线AB方向以2个单位/秒的速度匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），连接MN交AD于点E，连接CE、CN．
（1）当t=2秒时，MN∥BD；
（2）设△CEN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，△CEN为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由四边形ABCD是正方形，得到∠A=90°，∠ABD=45°，根据题意得到DM=t，AN=2t，BN=6-2t，于是得到结论；
（2）根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到CE=$\sqrt{{t}^{2}+36}$，EN=$\sqrt{4{t}^{2}+（6-t）^{2}}$，CN=$\sqrt{36+（6-2t）^{2}}$，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．

解答 解：（1）连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，∠ABD=45°，
∵DM=t，AN=2t，
∴BN=6-2t，
∵MN∥BD，
∴∠ANE=45°，
∴∠AEN=∠DEM=45°，
∴DE=DM=t，AE=6-t，
∵AN=AE，
∴6-t=2t，
∴t=2，
∴当t=2秒时，MN∥BD；
故答案为：2；

（2）∵CD∥AB，
∴△DME∽△ANE，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{DM}{AN}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=2，AE=4，
∵S_△CEN=S_{正方形ABCD}-S_△CDE-_△AEN-S_△CBN=6×6-$\frac{1}{2}×$6×2-$\frac{1}{2}$×2t×4-$\frac{1}{2}$（6-2t）×6，
∴S=2t+12；

（3）∵CE=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，EN=$\sqrt{16+4{t}^{2}}$，CN=$\sqrt{36+（6-2t）^{2}}$，
∵△CEN为等腰三角形，
∴①当CE=EN时，即2$\sqrt{10}$=$\sqrt{16+4{t}^{2}}$，
∴t=$\sqrt{6}$（负值舍去），
②当CE=CN时，即2$\sqrt{10}$=$\sqrt{36+（6-2t）^{2}}$，
解得：t=2，t=4（舍去），
③当EN=CN时，即$\sqrt{16+4{t}^{2}}$=$\sqrt{36+（6-2t）^{2}}$，
解得：t=$\frac{7}{3}$，
∴当t为$\sqrt{6}$或2或$\frac{7}{3}$时，△CEN为等腰三角形．

点评 本题考查了正方形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．