Question

已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x²-2x-1=0的两个实数根，设S₁=α+β，S₂=α²+β²，…，S_n=αⁿ+βⁿ．根据根的定义，有α²-2α-1=0，β²-2β-1=0将两式相加，得（α²+β²）-2（α+β）-2=0，于是，得S₂-2S_l-2=0．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）利用配方法求α，β的值，并求出S₁，S₂的值；
（2）求出S₃的值，并猜想：当n≥3时，S_n，S_n-1，S_n-2之间满足的数量关系（不要求证明）；
（3）直接填出（1+

2

）⁵+（1-

2

）⁵的值为

 

．

Answer 1

考点：配方法的应用,一元二次方程的解

专题：规律型

分析：（1）此小题只需对x²-x=1配方解得x的值即为α，β的值，再由s₁=α+β，s₂=α²+β²求得s₁，s₂的值；
（2）此小题可猜想得到s_n=s_n-1+s_n-2，再根据根的定义证明即可；
（3）由（2）可得出（1+

2

）⁵+（1-

2

）⁵的值即为S₅的值，依次计算求得S₅的值即可．

解答：解：（1）移项，得
x²-2x=1，
配方，得
x²-2x+1²=1+1²，
即（x-1）²=2，
开方，得
x-1=±

2

，
解得，x=1±

2

，
故α=1+

2

，β=1-

2

，
于是，s₁=1，s₂=3；

（2）猜想：s_n=2s_n-1+s_n-2．
证明：根据根的定义，α²-2α-1=0，
两边都乘以α^n-2，得　αⁿ-2α^n-1-α^n-2=0，①
同理，βⁿ-2β^n-1-β^n-2=0，②
①+②，得（αⁿ+βⁿ）-2（α^n-1+β^n-1）-（α^n-2+β^n-2）=0，
因为　s_n=αⁿ+βⁿ，s_n-1=α^n-1+β^n-1，s_n-2=α^n-2+β^n-2，
所以　s_n-2s_n-1-s_n-2=0，
即s_n=2s_n-1+s_n-2．

（3）47．
理由：由（1）知，s₁=1，s₂=3，由（2）中的关系式可得：
s₃=2s₂+s₁=7，s₄=2s₃+s₂=17，s₅=34+7=41，
故答案是：41．

点评：本题考查了配方法的应用，属于规律型的题目，比较麻烦，同学们要好好掌握．