Question

18．如图，将边长为$\sqrt{3}$cm的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$cm²
• B． $\frac{3}{2}$cm²
• C． $\sqrt{3}$cm²
• D． （3-$\sqrt{3}$）cm²

Answer 1

分析 设BC、C′D′相交于点M，连结AM．根据HL即可证明△AD′M≌△ABM，可得到∠MAB=30°，然后可求得MB的长，从而可求得△ABM的面积，最后
利用正方形的面积减去△AD′M和△ABM的面积进行计算即可．

解答 解：设BC、C′D′相交于点M，连结AM．

由旋转的性质可知：AD=AD′．
在直角△AD′M和直角ABM中$\left\{\begin{array}{l}{AD′=AB}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AD′M≌△ABM．
∴∠BAM=∠D′AM，S_△AMB=S_△AD′B．
∵∠DAD′=30°，
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$×（90°-30°）=30°．
又∵BA=$\sqrt{3}$，
∴MB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=1．
∴S_△AMB=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又∵S_{正方形ABCD}=（$\sqrt{3}$）²=3，
∴S_阴影=3-2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3-$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质、特殊锐角三角函数值的应用，证得△AD′M≌△ABM是本题的关键．