Question

13．小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
小华：“如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．”
小雨：“如果以13元/千克的价格销售，那么每天可售出150千克．”
小星：“通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．”
（1）求y（千克）与 x（元）（x＞0）之间的函数关系式；
（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？
（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x （元）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设y（千克）与 x（元）（x＞0）之间的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出y关于x的函数关系式；
（2）由这种水果每天的销售量均不低于250千克即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据“每天获得利润=每千克利润×销售数量”即可得出w关于x的函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设扣除捐赠后的日销售利润为s元，根据“每天获得利润=每千克利润×销售数量”即可得出s关于x的函数关系式，根据二次函数的性质结合“当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x （元）的增大而增大”即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．

解答 解：（1）设y（千克）与 x（元）（x＞0）之间的函数关系式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{300=10k+b}\\{150=13k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-50}\\{b=800}\end{array}\right.$，
∴y（千克）与 x（元）（x＞0）之间的函数关系式为y=-50x+800．
（2）由已知得：-50x+800≥250，
解得：x≤11．
w=（x-8）y=（x-8）（-50x+800）=-50x²+1200x-6400=-50（x-12）²+800，
∵-50＜0，
∴在x≤12上，w随x的增大而增大，
∴当x=11时，w最大，最大值为750．
答：当售价为11元/千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润w最大，最大值为750元．
（3）设扣除捐赠后的日销售利润为s元，则s=（x-8-a）（-50x+800）=-50x²+（1200+50a）x-6400-800a，
∵当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x （元）的增大而增大，
∴-$\frac{1200+50a}{2×（-50）}$≥13，
解得：a≥2，
∵a≤2.5，
∴a的取值范围为2≤a≤2.5．

点评 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题；（3）根据二次函数的性质找出关于a的一元一次不等式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质找出在某个区间段函数的单调性是关键．