Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：BD=CD；
（2）若∠G=40°，求∠AED的度数．
（3）若BG=6，CF=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得出即可；
（2）连接OD，根据切线的性质求出∠ODG=90°，求出∠BOD、∠ABC，根据圆内接四边形求出即可；
（3）求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圆的半径．

解答 （1）证明：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD；

（2）解：连接OD，
∵GF是切线，OD是半径，
∴OD⊥GF，
∴∠ODG=90°，
∵∠G=40°，
∴∠GOD=50°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=65°，
∵点A、B、D、E都在⊙O上，
∴∠ABD+∠AED=180°，
∴∠AED=115°；

（3）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴△GOD∽△GAF，
∴$\frac{OD}{AF}$=$\frac{GO}{GA}$，
∴设⊙O的半径是r，则AB=AC=2r，
∴AF=2r-2，
∴$\frac{r}{2r-2}$=$\frac{6+r}{6+2r}$，
∴r=3，
即⊙O的半径是3．

点评 本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．