Question

如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM与于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF。

（1） 求证：OD∥BE;

(2) 猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由。

Answer 1

解：（1）证明：连接OE

∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径

∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°

∴∠AOD=∠EOD=∠AOE       

∵∠ABE=∠AOE  ∴∠AOD=∠ABE  ∴OD∥BE 

(2) OF =CD         

理由：连接OC

∵BE、CE是⊙O的切线

∴∠OCB=∠OCE        

∵AM∥BN

∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°

由（1）得  ∠ADO=∠EDO

∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90°

在Rt△DOC中， ∵ F是DC的中点   ∴OF =CD