Question

4．在△ABC中，AD平分∠BAC．BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．
（1）求证：AE=DE；
（2）若AB=8，求线段DE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明AE=DE，只需推知∠EAD=∠EDA．
（2）证明DE为直角△ABD斜边的中线，即可解决问题．

解答 解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，
∴∠EAD=∠CAD，∠EDA=∠CAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE；

（2）由（1）知，∠EAD=∠EDA．
∵BD⊥AD，
∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA
∴∠EBD=∠BDE，
∴DE=BE．
又由（1）知，DE=BE，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4．

点评 该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键．