Question

如图1，在?ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若

AF

EF

=3，求

CD

CG

的值．
（1）在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是

 

，CG与EH的数量关系是

 

，

CD

CG

的值是

 

；
（2）在原题的条件下，若

AF

EF

=m（m＞0），试求

CD

CG

的值（用含m的代数式表示，写出解答过程）．
（3）如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，若BF的延长线交CD于点G，且

AF

EF

=m，

CD

AB

=n，则

CD

CG

的值是

 

（用含m、n的代数式表示，不要求证明）．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：几何图形问题

分析：（1）首先过点E作EH∥AB交BG于点H，可得△ABF∽△EHF，然后由相似三角形的对应边成比例，可得

AB

EH

=

AF

EF

，又由点F为AE的中点，可得AF=EF，又由△BEH∽△BCG，即可求得答案；
（2）首先过点E作EH∥AB交BG于点H，可得△ABF∽△EHF，然后由相似三角形的对应边成比例，可得

AB

EH

=

AF

EF

，又由

AF

EF

=3，可得AF=3EF，又由△BEH∽△BCG，即可求得答案；
（3）首先过点E作EH∥AB交BG于点H，可得△ABF∽△EHF，然后由相似三角形的对应边成比例，可得

AB

EH

=

AF

EF

，又由

AF

EF

=m，可得AF=mEF，又由△BEH∽△BCG，即可求得答案．

解答：解：（1）过点E作EH∥AB交BG于点H，
∴△ABF∽△EHF，
∴

AB

EH

=

AF

EF

，
∵点F为AE的中点，
∴AF=EF，
∴AB=EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴EH∥CG，CD=EH，
∴△BEH∽△BCG，
∴

EH

CG

=

BE

BC

，
∵点E是BC边上的中点，
∴

CD

CG

=

EH

CG

=

1

2

；
故答案为：

1

2

；

（2）过点E作EH∥AB交BG于点H，
∴△ABF∽△EHF，
∴

AB

EH

=

AF

EF

，
∵

AF

EF

=3，
∴AB=3EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴EH∥CG，CD=3EH，
∴△BEH∽△BCG，
∴

EH

CG

=

BE

BC

，
∵点E是BC边上的中点，
∴

CD

CG

=

3EH

CG

=3×

1

2

=

3

2

；
故答案为：

3

2

；

（3）过点E作EH∥AB交BG于点H，
∴△ABF∽△EHF，
∴

AB

EH

=

AF

EF

，
∵

AF

EF

=m，
∴AB=mEH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴EH∥CG，CD=mEH，
∴△BEH∽△BCG，
∴

EH

CG

=

BE

BC

，
∵点E是BC边上的中点，
∴

CD

CG

=

mEH

CG

=m×

1

2

=

m

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．