Question

13．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），点M是线段AB上任意一点（A，B两点除外）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）过点M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；
（3）当点M把线段AB分成的两部分的比为1：3时，请求出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由A、B的坐标，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）可设出M点的坐标，从而可表示出MD、MC的长，进而可表示出四边形OCMD的周长，可求得答案；
（3）由平行线分线段成比例可得$\frac{DM}{OA}=\frac{BM}{BA}$，分BM：MA=1：3和BM：MA=3：1两种情况，可分别求得DM的长，即可求得M点的横坐标，再代入直线AB解析式可求得M点的坐标．

解答 解：
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}4k+b=0\\ b=4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=4\end{array}\right.$，
∴AB的解析式为y=-x+4；

（2）不发生变化．
理由如下：
设M点的坐标为（x，-x+4）
MD=|x|=x，MC=|-x+4|=-x+4
四边形OCMD的周长=2（MD+MC）=2[x+（-x+4）]=8
∴四边形OCMD的周长不发生变化；

（3）∵DM∥x轴
∴$\frac{DM}{OA}=\frac{BM}{BA}$
①当BM：MA=1：3时，$\frac{DM}{OA}=\frac{BM}{BA}$=$\frac{1}{4}$，即$\frac{DM}{4}=\frac{1}{4}$，DM=1，
则点M的横坐标为1，此时纵坐标=-x+4=-1+4=3，M（1，3）；
②当BM：MA=3：1时，$\frac{DM}{OA}=\frac{BM}{BA}=\frac{3}{4}$，即$\frac{DM}{4}=\frac{3}{4}$，DM=3，
则点M的横坐标为3，此时纵坐标=-x+4=-3+4=1，M（3，1）；
综上可知点M的坐标为（1，3）或（3，1）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、平行线分线段成比例、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用M点的坐标表示出MD和MC的长是解题的关键，在（3）中利用平行线分线段成比例求得M点的横坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．