Question

13．在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），C（0，b），且a、b满足（a+1）²+$\sqrt{b+3}$=0．
（1）直接写出：a=-1，b=-3；
（2）如图，点B为x轴正半轴上一点，过点B作BE⊥AC于点E，交y轴于点D，连接OE，若OE平分∠AEB，此时，OB与OC有怎样的大小关系？证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，求直线BE的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用非负数的性质可求得a、b的值；
（2）过O作OF⊥OE，可得△OEF为等腰直角三角形，可证明△EOC≌△FOB，可证明OB=OC；
（3）可证明△AOC≌△DOB，可求得D点坐标，由（2）可求得B点坐标，从而可求得直线BE的解析．

解答 解：（1）∵（a+1）²+$\sqrt{b+3}$=0，
∴a+1=0，b+3=0，
∴a=-1，b=-3，
故答案为：-1；-3；
（2）OB=OC，证明如下：
如图，过O作OF⊥OE，交BE于F，

∵BE⊥AC，OE平分∠AEB，
∴△EOF为等腰直角三角形，
∴∠EOC+∠DOF=∠DOF+∠FOB=90°，
∴∠EOC=∠FOB，且∠OEC=∠OFB=135°，
在△EOC和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOC=∠FOB}\\{OE=OF}\\{∠OEC=∠OFB}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△FOB（ASA），
∴OB=OC；
（3）∵△EOC≌△FOB，
∴∠OCE=∠OBE，OB=OC，
在△AOC和△DOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCA=∠OBD}\\{OC=OB}\\{∠AOC=∠DOB=90°}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△DOB（ASA），
∴OD=OA，
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴OD=1，OC=3，
∴D（0，-1），B（3，0），
设直线BE解析式为y=kx+b，
把B、D两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴直线BE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1．

点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及非负数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法等知识点．在（1）中注意非负数的性质的应用，在（2）中构造三角形全等是解题的关键，在（3）中证明三角形全等求得D点坐标是解题的关键．本题考查知识点较为基础，综合性强，但难度不大．