Question

）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

Answer 1

考点：二次函数综合题．

分析：（1）根据一次函数解析式求出点A．点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式．

（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；

②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置．

解答：解：（1）由y=﹣x+3，

令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；

令y=0，得x=4，所以点C（4，0），

∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，

∴B点坐标为（﹣4，0），

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴D点坐标为（8，3），

将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x²+bx+c，可得，

解得：，

故该二次函数解析式为：y=x²﹣x﹣3．

（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

∵PQ⊥AC，

∴△APQ∽△CAO，

∴=，即=，

解得：t=．

即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．

②∵S_{四边形PDCQ}+S_△APQ=S_△ACD，且S_△ACD=×8×3=12，

∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，

当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，

解得：h=（5﹣t），

∴S_△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t²+5t）=﹣（t﹣）²+，

∴当t=时，S_△APQ达到最大值，此时S_{四边形PDCQ}=12﹣=，

故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大．