题目内容
19．如图①在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{2}{3}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，对称轴是直线x=1，点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合）（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点P在什么位置时，△APB面积最大？求此时点P的坐标；
（3）如图②，以AP为边作正方形APMN，当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的点P的坐标．
分析 （1）先求出A、B两点坐标，利用待定系数法条件对称轴公式列方程组解决问题．
（2）如图1中，设P（m，-$\frac{2}{3}$m2+$\frac{4}{3}$m+2），作PQ∥y轴交AB于Q，则Q（m，-$\frac{2}{3}$m+2）．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
（3）分两种情形①如图2中，当点N在对称轴上时，作AG⊥OA，PG⊥AG于G，NH⊥AG于H．②如图3中，当点M在对称轴上时，作PG⊥对称轴于G，AH⊥PG于H．分别利用全等三角形的性质，列出方程解决问题．
解答 解：（1）由y=-$\frac{2}{3}$x+2，令x=0得y=2，令y=0得x=3，
∴B（0，2），A（3，0），
由题意$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{9a+3b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x+2．
（2）如图1中，设P（m，-$\frac{2}{3}$m2+$\frac{4}{3}$m+2），作PQ∥y轴交AB于Q，则Q（m，-$\frac{2}{3}$m+2）．
∴S△PAB=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{2}{3}$m2+$\frac{4}{3}$m+2+$\frac{2}{3}$m-2）•3=-m2+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{9}{4}$，
∵-1＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$时，△PAB面积最大，此时P（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
（3）①如图2中，当点N在对称轴上时，作AG⊥OA，PG⊥AG于G，NH⊥AG于H．
∵PA=AN，∠G=∠H=90°，∠PAG=∠ANH，
∴△APG≌△NAH，
∴AG=NH=2，
当y=2时，-$\frac{2}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x+2=2，解得x=2或0（舍弃），
∴此时P（2，2）．
②如图3中，当点M在对称轴上时，作PG⊥对称轴于G，AH⊥PG于H．
由△PAH≌△MPG，得AH=PG，设P（m，-$\frac{3}{2}$m2+$\frac{4}{3}$m+2），
则有m-1=-$\frac{3}{2}$m2+$\frac{4}{3}$m+2，解得m=$\frac{1+\sqrt{163}}{9}$或$\frac{1-\sqrt{163}}{9}$（舍弃）．
此时点P坐标（$\frac{1+\sqrt{163}}{9}$，$\frac{\sqrt{163}-8}{9}$）．
综上所述，当点P坐标为（2，2）或（$\frac{1+\sqrt{163}}{9}$，$\frac{\sqrt{163}-8}{9}$）时，以AP为边作正方形APMN，当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上．
点评 本题考查了二次函数的综合运用、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．若CD与BE相交于点O．求证：
如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{7}}{2}$ | B． | $\sqrt{7}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
如图，已知点D是等腰直角三角形ABC斜边BC上一点（不与点B重合），连AD，线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连CE，求证：BD⊥CE．