给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方.则称该四边形为勾股四边形．(1)以下四边形中.是勾股四边形的为①②．①矩形,②有一个角为直角的任意凸四边形,③有一个角为60°的菱形．(2)如图.将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE.∠DCB=30°.连接AD.DC.CE．①求证:△BCE是等边三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

2．

给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为①②．（填写序号即可）
①矩形；②有一个角为直角的任意凸四边形；③有一个角为60°的菱形．
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，∠DCB=30°，连接AD，DC，CE．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：四边形ABCD是勾股四边形．

分析（1）由勾股四边形的定义和特殊四边形的性质，则可得出；
（2）①由旋转的性质可知△ABC≌△DBE，从而可得BC=BE，由∠CBE=60°可得△BCE为等边三角形；②由①可得∠BCE=60°，从而可知△DCE是直角三角形，再利用勾股定理即可解决问题．

解答解：（1）①如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AB²+BC²=AC²，
即：矩形是勾股四边形，
②如图，

∵∠B=90°，
∴AB²+BC²=AC²，
即：由一个角为直角的四边形是勾股四边形，
③有一个角为60°的菱形，邻边边中没有直角，所以不满足勾股四边形的定义，
故答案为①②，
（2）①∵△ABC绕点B顺时针旋转了60°到△DBE，
∴BC=BE，∠CBE=60°，
∵在△BCE中，BC=BE，∠CBE=60°
∴△BCE是等边三角形．
②∵△BCE是等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°，
在Rt△DCE中，有DC²+CE²=DE²，
∵DE=AC，BC=CE，
∴DC²+BC²=AC²，
∴四边形ABCD是勾股四边形．

点评本题是四边形综合题，考查勾股定理，及考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解本题的关键是理解勾股四边形的定义．

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