Question

如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE=∠ADB．
（1）图中与△ABF相似的三角形（不包括△ABF本身）共有

 

个．
（2）若BE=2，AD=5．求：AB的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明AE⊥BD，即可解决问题．
（2）证明△ABD∽△EBA，得到

AD

AB

=

AB

BE

，运用AD=5，BE=2，求出AB的长度，即可解决问题．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABE=∠BCD=90°，而∠BAE=∠ADB，
∴∠BAF+∠ABF=∠ABF+∠ADB=90°，
∴AE⊥BD；
∴△ABE、△BEF、△ABD、△AFD、△BCD均与△ABF相似，
故答案为5．
（2）由（1）知：AE⊥BD，∠ABE=90°，
∴∠ABF+∠EBF=∠EBF+∠FEB，
∴∠ABD=∠AEB，而∠BAD=∠ABE，
∴△ABD∽△EBA，
∴

AD

AB

=

AB

BE

，而AD=5，BE=2，
∴AB=

10

．

点评：该题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定及其性质的应用等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握矩形的性质、相似三角形的判定及其性质．