题目内容

已知Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠F=∠B=45°，AC=8cm，CF=10cm．如图②，△DEF从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以 $数学公式$ cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t≤5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上（结果精确到个位）？
（2）连接PE，四边形APEC的面积为S，用含有t的数学表达式表示S．当t为何值时，S的值为23；
（3）当t=，面积S最小，S的最小值是．（提示：参考配方法）

解：（1）∵∠ACB=∠EDF=90°，∠F=∠B=45°，
∴∠A=∠DEF=∠EQC=45°，
∴∠A=∠B=∠DEF=∠F=∠EQC，
∴AC=BC=8，DE=DF，QC=EC．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，由勾股定理，得
AB=8 $\text{[math]}$ ，DE=DF=5 $\text{[math]}$ ．
∵PB= $\text{[math]}$ t，
∴AP═8 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，
∵EC=t，
∴CQ=t，
∴AQ=8-t，
∴8 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t=8-t，
解得：t≈3．
（2）作PG⊥BC于G，且∠B=45°
∴PG=BG，
∵PB= $\text{[math]}$ t，由勾股定理，得
PG= $\text{[math]}$ t，
∵CE=t，
∴BE=8-t．
∴S△BPE= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ t²+6t，
S= $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ t²+6t），
= $\text{[math]}$ t²-6t+32
当S=23时，23= $\text{[math]}$ t²-6t+32，
解得t=2或6，
∵0＜t≤5，
∴t=2．
（3）∵S= $\text{[math]}$ t²-6t+32
∴S= $\text{[math]}$ （t-4）²+20
∴t=4时，S最小=20．
故答案为：4，20．

分析：（1）由条件可以得出AC=8 $\text{[math]}$ ，当AP=AQ时由题意可以得出以AP=8 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，AQ=8-t，从而建立等两关系就可以求出t值．
（2）作PG⊥BC于G，则PG= $\text{[math]}$ t，BE=8-t，S=S_△ABC-S_△PBE，就可以用t表示出S，把S=23代入解析式就可以求出t值．
（3）将（2）的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，就求出了t值和S的最小值．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用，三角形的面积的运用，二次函数的最值的运用等知识点．