题目内容

实践应用：台风“圣帕”所带来的强降水造成了许多地方洪水泛滥成灾，田地被冲毁十分严重，几户承包者的田地都被冲成了一片，灾后他们必须按原来的面积进行重新勘测划分，其中有张老汉家的一块，他已不知道原来那一块的面积是多少，几经回忆才想起原来那块地的形状是一个直角梯形，直角腰的两端恰好又各有一块大石头，另一腰的中点处有一棵大树．大家一看，两块大石头A、B及大树P还在（如图所示），请问，如何知道张老汉原来那块地的面积？写出你的测量方案，并用字母表示相关的数据后计算出面积．

解：量出AB的长，记为a米，过点P作AB的垂线PQ，并量出它的长，记为b米，则张老汉原来那块地的面积为ab平方米．

理由是：
设原来那块地为直角梯形ABCD（如图），其中AD∥BC，P是DC的中点，
∵PQ⊥AB，AD、BC也都垂直于AB，
∴AD∥PQ∥BC，
作DE⊥PQ于E，PF⊥BC于F．
则四边形AQED、BFPQ都是矩形，
∴AQ=DE，BQ=PF．又PD=PC，所以易知△DEP≌△PFC，
∴DE=PF，从而AQ=BQ，
∴PQ是梯形ABCD的中位线，
∴梯形ABCD的面积为ab．
分析：量出AB的长，记为a米，过点P作AB的垂线PQ，并量出它的长，记为b米，则张老汉原来那块地的面积为ab平方米．
点评：本题考查了全等三角形和矩形以及直角梯形的性质和梯形的中位线的性质的综合应用．