Question

12．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，且k为常数）的图象过点E，且S_△AOE=3S_△OBE．
（1）求k的值；
（2）反比例函数图象与线段BC交于点D，直线y=$\frac{1}{2}$x+b过点D与线段AB交于点F，延长OF交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象于点N，求N点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得E的坐标，把点E（-3，4）代入利用待定系数法即可求出k的值；
（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为-4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（-4，3），由点D在直线y=$\frac{1}{2}$x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标，然后根据待定系数法求得直线OF的解析式，然后联立方程解方程组即可求得．

解答 解：（1）∵S_△AOE=3S_△OBE，
∴AE=3BE，
∴AE=3，
∴E（-3，4）
反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，且k为常数）的图象过点E，
∴4=$\frac{k}{-3}$，即k=-12．

（2）∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为-4，点F的纵坐标为4．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D（-4，3）．
∵点D在直线y=$\frac{1}{2}$x+b上，
∴3=$\frac{1}{2}$×（-4）+b，解得b=5．
∴直线DF为y=$\frac{1}{2}$x+5，
将y=4代入y=$\frac{1}{2}$x+5，得4=$\frac{1}{2}$x+5，解得x=-2．
∴点F的坐标为（-2，4），
设直线OF的解析式为y=mx，
代入F的坐标得，4=-2m，
解得m=-2，
∴直线OF的解析式为y=-2x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=-\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{6}}\\{y=2\sqrt{6}}\end{array}\right.$．
∴N（-$\sqrt{6}$，2$\sqrt{6}$）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、一次函数和反比例函数的交点等相关知识，难度较大．