Question

已知，△ABC为等边三角形，点D、E分别在直线BC、AC上，且CD=AE，直线AD、BE相交于点N，过点B作BM⊥AD于点M．

（1）如图1，当点D在BC边上，点E在AC边上，求证：AD-2MN=EN；
（2）如图2，当点D在CB延长线上，点E在AC延长线上，请直接写出AD、MN、EN的关系；
（3）如图2，在（2）的条件下，若NB=ND，MN=2，AC=4

3

，求△BCE的面积．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：综合题

分析：（1）易证△ABE≌△CAD，则有BE=AD，∠ABE=∠CAD，从而得到∠BNM=60°，进而得到∠NBM=30°，就有BN=2MN，从而解决问题．
（2）借鉴（1）的方法就可得到AD、MN、EN的关系．
（3）同理可得∠ANE=60°，然后根据条件可得到∠ABE=90°，AC=CE，只需求出△ABE的面积，就可得到△BCE的面积．

解答：解：（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°．
在△ABE和△CAD中，

AB=CA ∠BAE=∠ACD AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°．
∵BM⊥AD即∠AMB=90°，
∴∠NBM=30°，
∴BN=2MN，
∴AD-2MN=BE-BN=EN．

（2）如图2，
同理可得：BE=AD，BN=2MN，
∴AD+2MN=BE+BN=EN．

（3）如图2，
同理可得∠ANE=60°．
∵NB=ND，
∴∠NDB=∠NBD=30°，
∴∠CBE=∠NBD=30°，
∴∠E=∠ACB-∠CBE=30°=∠CBE，
∴BC=EC，
∴EC=AC．
∴S_△ABE=2S_△BCE．
在△ABE中，
∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+30°=90°，
AB=4

3

，AE=2AC=8

3

，
∴BE=

AE2-AB2

=12．
∴S_△ABE=

1

2

AB•BE=

1

2

×4

3

×12=24

3

，
∴2S_△BCE=24

3

，
∴S_△BCE=12

3

，
即△BCE的面积为12

3

．

点评：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、30°所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、面积变换等知识，有一定的综合性．借鉴已有的解题经验是解决本题的关键．