题目内容
已知：如图，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE．
（1）试说明：∠ACB=∠CED；
（2）当C为BD的中点时，△ABC与△EDC全等吗？若全等，请说明理由；若不全等，请改变BD的长（直接写出答案），使它们全等；
（3）若AC=CE，试求DE的长；
（4）在线段BD的延长线上，是否存在点C，使得AC=CE？若存在，请求出DE的长及△AEC的面积；若不存在，请说明理由．
（1）试说明：∠ACB=∠CED；
（2）当C为BD的中点时，△ABC与△EDC全等吗？若全等，请说明理由；若不全等，请改变BD的长（直接写出答案），使它们全等；
（3）若AC=CE，试求DE的长；
（4）在线段BD的延长线上，是否存在点C，使得AC=CE？若存在，请求出DE的长及△AEC的面积；若不存在，请说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出即可；
（2）根据全等三角形的判定定理进行判断，即可得出答案；
（3）根据全等得出对应边相等，即可得出答案；
（4）求出两三角形全等，得出对应边相等，再根据勾股定理和三角形面积公式求出即可．
（2）根据全等三角形的判定定理进行判断，即可得出答案；
（3）根据全等得出对应边相等，即可得出答案；
（4）求出两三角形全等，得出对应边相等，再根据勾股定理和三角形面积公式求出即可．
解答：解：（1）∵∠B=90°，AB∥DF，
∴∠D=∠B=90°，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，
∴∠ECD+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠CED；
（2）当C为BD的中点时，△ABC与△EDC不全等，当BD的长是6时，它们全等，
理由是：∵BD=6，C为BD中点，
∴BC=CD=3=AB，
在△ABC和△CDE中
，
∴△ABC≌△CDE（AAS）；
（3）∵在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AB=CD=3cm，
∴DE=BC=8cm-3cm=5cm；
（4）
∵∠B=90°AB∥DF，
∴∠CDE=∠B=90°，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，
∴∠ECD+∠ACB=90°，∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ECD=∠BAC；
当CD=AB=3cm时，AC=CE，
∵在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AC=CE，DE=BD=8cm，
∵AB=3cm，BC=BD+CD=8cm+3cm=11cm，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得；AC=
=
，
∵∠ACE=90°，
∴△AEC的面积是
×AC×CE=
×
×
=65cm2．
∴∠D=∠B=90°，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，
∴∠ECD+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠CED；
（2）当C为BD的中点时，△ABC与△EDC不全等，当BD的长是6时，它们全等，
理由是：∵BD=6，C为BD中点，
∴BC=CD=3=AB，
在△ABC和△CDE中
|
∴△ABC≌△CDE（AAS）；
（3）∵在△ABC和△CDE中
|
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AB=CD=3cm，
∴DE=BC=8cm-3cm=5cm；
（4）
∵∠B=90°AB∥DF，
∴∠CDE=∠B=90°，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，
∴∠ECD+∠ACB=90°，∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ECD=∠BAC；
当CD=AB=3cm时，AC=CE，
∵在△ABC和△CDE中
|
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AC=CE，DE=BD=8cm，
∵AB=3cm，BC=BD+CD=8cm+3cm=11cm，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得；AC=
| 112+32 |
| 130 |
∵∠ACE=90°，
∴△AEC的面积是
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 130 |
| 130 |
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
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