Question

7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{2}{3}$x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c与x轴的另一个交点为A（-1，0）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）本题需先根据直线过B，C两点，求得B，C的坐标，然后根据的东西是即可得出抛物线的解析式．
（2）把D的横坐标代入抛物线的解析式求得纵坐标，求得四边形OBDC是梯形，可直接根据三角形面积公式求得；
（3）本题首先判断出存在，首先设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+2，再分两种情况进行讨论：当$\frac{AQ}{PQ}$=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{3}{2}$时和当$\frac{AQ}{PQ}$=$\frac{CO}{BO}$=$\frac{2}{3}$时，得出△APQ∽△BCO，△APQ∽△CBO，分别求出点P的坐标即可．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{2}{3}$x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，
∴B（3，0），C（0，2），
将A（-1，0），C（0，2）代入y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}-b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故此抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2．
（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为2，
∴y=-$\frac{2}{3}$×2²+$\frac{4}{3}$×2+2=2，
∴D（2，2），
∵C（0，2），
∴CD∥AB，
∴四边形OBDC是梯形，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•OC=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
（2）存在．
如图，设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+2，
AQ=m+1，PQ=-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+2，
又∵∠COB=∠PQA=90°，
∴①当$\frac{AQ}{PQ}$=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{3}{2}$时，
△APQ∽△BCO，
即2（m+1）=3（-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+2）
解得：m₁=2，m₂=-1（舍去），
则P（2，2），
②当$\frac{AQ}{PQ}$=$\frac{CO}{BO}$=$\frac{2}{3}$时，
△APQ∽△CBO，
即3（m+1）=2（-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+2），
解得：m₁=-1（不合题意，舍去），m₂=$\frac{3}{4}$，
则P（$\frac{3}{4}$，$\frac{21}{8}$）．
故符合条件的点P的坐标为P（2，2）或（$\frac{3}{4}$，$\frac{21}{8}$）．

点评 本题考查了抛物线解析式的求法，相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．