Question

1．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是$\widehat{AC}$的中点，DE⊥AB于E，交AC于F，DB交AC于G．求证：
（1）FA=FD；
（2）FA=FG．

Answer 1

分析 （1）连接AD，根据同角的余角相等得到∠ADE=∠ABD，根据等弧所对的圆周角相等得到∠DAC=∠ABD，得到答案；
（2）根据对顶角相等证明∠EDB=∠DGF，等量代换得到答案．

解答 证明：（1）连接AD，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，又DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ABD，
∵D是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴FA=FD；
（2）∵∠ADE=∠DBC，∠ADE+∠EDB=90°，∠DBC+∠CGB=90°，
∴∠EDB=∠CGB，又∠DGF=∠CGB，
∴∠EDB=∠DGF，
∴FA=FG．

点评 本题考查的是圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系，掌握直径所对的圆心角是直角、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．