Question

8．如图，长方形ABCD在直角坐标系中，边BC在x轴上，B点坐标为（m，0）且m＞0．AB=a，BC=b，且满足b=$\sqrt{3-a}$-$\sqrt{a-3}$+4
（1）求a，b的值及用m表示出点D的坐标；
（2）连接OA，AC，若△OAC为等腰三角形，求m的值；
（3）△OAC能为直角三角形吗？若能，求出m的值，若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的意义，得出a的值，进而求出b，即可得出OC，即可得出结论；
（2）先利用勾股定理表示出OA，OC，求出AC，分三种情况用两边相等建立方程求解即可；
（3）分三种情况用勾股定理建立方程求解即可求出m．

解答 解：（1）∵b=$\sqrt{3-a}$-$\sqrt{a-3}$+4，
∴3-a≥0，a-3≥0，
∴a=3，
∴b=4，
∴AB=3，BC=4，
∵B点坐标为（m，0），
∴OC=m+4，
∴D（m+4，3）；
（2）如图1，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，根据勾股定理得，AC=5，
在Rt△AOB中，OA=$\sqrt{{m}^{2}+9}$，OC=m+4，
∵△OAC为等腰三角形，
∴①当OA=AC时，
∴$\sqrt{{m}^{2}+9}$=5，
∴m=4或m=-4（舍）
②当OA=OC时，
∴$\sqrt{{m}^{2}+9}$=m+4，
∴m=-$\frac{7}{8}$（舍），
③当AC=OC时，
∴5=m+4，
∴m=1，
即：m=1或m=4时，△OAC为等腰三角形；

（3）由（2）知，OA=$\sqrt{{m}^{2}+9}$，OC=m+4，AC=5，
∵△OAC为直角三角形，
∴①当OA²+OC²=AC²时，
∴m²+9+（m+4）²=25，
∴m=0（舍）或m=-4（舍）；
②当OA²+AC²=OC²时，m²+9+25=（m+4）²，
∴m=$\frac{9}{4}$
③当AC²+OC²=OA²时，25+（m+4）²=m²+9，
∴m=-4（舍），
即：m=$\frac{9}{4}$时，△OAC为直角三角形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了二次根式的意义，勾股定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是用m表示出OA，OC是一道中等难度的中考常考题．