Question

8．如图，△ABC中，BC=10cm，BC边上的高AD=8cm，E、F分别为AC、AB上的点，且EF∥BC，以EF为边向下作矩形EFGH，且满足EF=2FG，设EF的长为x（cm），矩形EFGH与△ABC重叠部分的面积为y（cm²）．
（1）当GH与BC重合时，求x的值；
（2）求y与x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知EF=x、FG=PD=$\frac{1}{2}$x、AP=AD-PD=8-$\frac{1}{2}$x，证△AFE∽△ABC知$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AP}{AD}$，据此可得x的值；
（2）当0≤x＜$\frac{80}{13}$时，由y=EF•FG可得；当$\frac{80}{13}$≤x≤10时，由△AFE∽△ABC得$\frac{AP}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$，即可知AP=$\frac{4}{5}$x、FQ=PD=AD-AP=8-$\frac{4}{5}$x，根据y=EF•FQ可得．

解答 解：（1）如图1，

由题意知，当EF=xcm时，FG=PD=$\frac{1}{2}$xcm，
则AP=AD-PD=8-$\frac{1}{2}$x，
∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AP}{AD}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{8-\frac{1}{2}x}{8}$，
解得：x=$\frac{80}{13}$；

（2）当0≤x＜$\frac{80}{13}$时，y=x•$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x²；
当$\frac{80}{13}$≤x≤10时，如图2，记FG与BC交于点Q，

由△AFE∽△ABC得$\frac{AP}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$，即$\frac{AP}{8}$=$\frac{x}{10}$，
∴AP=$\frac{4}{5}$x，
则FQ=PD=AD-AP=8-$\frac{4}{5}$x，
∴y=x（8-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}$x²+8x，
即y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}}&{（0≤x＜\frac{80}{13}）}\\{-\frac{4}{5}{x}^{2}+8x}&{（\frac{80}{13}≤x≤10）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查二次函数的应用及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质得出所需线段的长是解题的关键．