Question

如图，直角坐标系中，Rt△ABC的边在x轴上，∠CAB=90°，tan∠ACB=

1

3

，将Rt△ABC沿直线BC翻折得Rt△DBC，再将Rt△DBC绕点B逆时针旋转，正好点C与坐标原点O重合，点D的对应点E落在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上，此时线段AC交双曲线于点F，则S_△CFE=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：过点E作EH⊥OB于点H，由全等变换可得∠EOB=∠ACB，由tan∠EOB=

1

3

，点E在反比例函数图象上可求出点E的坐标，易证△OHE∽△EHB，从而可求出HB、EB（即AB）、进而可求出AH，OE（即AC）、OB、OA，然后由点F在反比例函数图象上可求出AF的长，从而可求出CF的长，就可求出△CFE的面积．

解答：解：过点E作EH⊥OB于点H，如图，
则有∠EHO=∠BHE=90°．
由题可得：△CAB≌△CDB≌△OEB，
∴∠ACB=∠DCB=∠EOB，∠CAB=∠CDB=∠OEB=90°，
AC=CD=OE，AB=DB=EB．
∵tan∠ACB=

1

3

，
∴tan∠EOB=

EH

OH

=

1

3

．
设EH=a，则OH=3a，
∴点E的坐标为（3a，a）．
∵点E在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上，
∴3a²=12，a＞0，∴a=2．
∴OH=6，EH=2．
∵∠OEB=90°，
∴∠OEH=90°-∠HEB=∠EBH，
∴△OHE∽△EHB，
∴

OH

EH

=

HE

HB

，
∴

6

2

=

2

HB

，
∴HB=

2

3

，
∴AC=OE=

OH2+EH2

=

40

=2

10

，
AB=EB=

EH2+HB2

=

4+ 4 9

=

2 10

3

，
∴AH=AB-HB=

2 10

3

-

2

3

=

2 10 -2

3

，
OA=OB-AB=OH+HB-AB=6+

2

3

-

2 10

3

=

20-2 10

3

．
∵点F在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上，
∴AF=

12

20-2 10 3

=

10+ 10

5

，
∴CF=AC-AF=2

10

-

10+ 10

5

=

9 10 -10

5

，
∴S△CEF=

1

2

CF•AH
=

1

2

×

9 10 -10

5

×

2 10 -2

3

=

100-19 10

15

．
故答案为：

100-19 10

15

．

点评：本题主要考查了全等变换、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，对运算能力要求较高．