Question

9．如图，点A（1，2），点B在x轴上，AO=AB，若双曲线y=$\frac{k}{x}$与边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=2BD，则实数k的值为8．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD=x，则OC=2x，分别表示出点C、点D的坐标，代入函数解析式求出k，继而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值．

解答 解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
设BD=x，则OC=2x，
∵点A（1，2），
∴AO=AB=$\sqrt{5}$，
∵DF∥AH，
∴$\frac{DF}{AH}$=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BF}{BH}$，
∴BF=$\frac{x}{\sqrt{5}}$，DF=$\frac{2x}{\sqrt{5}}$，
∴OF=OB-BF=2-$\frac{x}{\sqrt{5}}$，
则点D的坐标为（5-$\frac{x}{\sqrt{5}}$，$\frac{2x}{\sqrt{5}}$），
∵CE∥AH，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{CE}{AH}$=$\frac{OE}{OH}$，
∴CE=$\frac{4x}{\sqrt{5}}$，OE=$\frac{2x}{\sqrt{5}}$，
∴C（$\frac{2x}{\sqrt{5}}$，$\frac{4x}{\sqrt{5}}$）
将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k=$\frac{8}{5}$x²，
将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=2$\sqrt{5}$x-$\frac{2}{5}$x²，
∴$\frac{8}{5}$x²=2$\sqrt{5}$x-$\frac{2}{5}$x²，
解得：x₁=$\sqrt{5}$，x₂=0（舍去），
∴k=$\frac{8}{5}$x²=8，
故答案为：8．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用k的值相同建立方程，有一定难度．