Question

2．如图，正方形ABCD的边长为a，点P，Q，R，S分别在AB，BC，CD，DA上，且BQ=2AP，CR=2AP，DS=4AP，问：AP长为多少时，四边形PQRS的面积有最小值？最小值是多少？

Answer 1

分析 四边形PQRS的面积=正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，得出y是x的二次函数，即可求出答案．

解答 解：设AP长为x，四边形PQRS的面积为y，则BQ=2AP=2x，CR=2AP=2x，DS=4AP=4x，
∴BP=a-x，AS=a-4x，DR=a-2x，CQ=a-2x
y=S_{四边形PQRS}=a²-S_△APS-S_△DSR-S_△CRQ-S_△BPQ
=a²$-\frac{1}{2}$x（a-4x）-$\frac{1}{2}$•4x•（a-2x）-$\frac{1}{2}$•2x•（a-2x）$-\frac{1}{2}•$2x•（a-x）
=9x²$-\frac{9}{2}$ax+a²
=9${（x-\frac{a}{4}）}^{2}$$+\frac{7}{16}$a²
∵9＞0，
∴y有最小值，当x=$\frac{a}{4}$时，y最小=$\frac{7}{16}$a²．

点评 本题考查了正方形的性质以及二次函数的最值，利用二次函数的最值是解题关键．