题目内容

如图，直线 $数学公式$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B．有两动点C、D同时从点O出发，其中点C以每秒 $数学公式$ 个单位长度的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点D以每秒4个单位长度的速度沿折线OBA按O→B→A的路线运动，当C、D两点相遇时，它们都停止运动．设C、D同时从点O出发t秒时，△OCD的面积为S．
（1）请问C、D两点在运动过程中，是否存在CD∥OB？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（2）请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）设S₀是（2）中函数S的最大值，那么S₀=______．

解：（1）不存在CD∥OB，理由为：
若CD∥OB，则点C，D应分别在线段OA，AB上，此时1＜t＜2，在Rt△AOB中，AB=5，
设点D的坐标为（x₁，y₁），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴|x₁|= $\text{[math]}$ （4t-4）= $\text{[math]}$ ，
∵CD∥OB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t，
∴t= $\text{[math]}$ ，
∵t= $\text{[math]}$ ＞2，不满足1＜t＜2，
∴不存在CD∥OB；

（2）根据题意得D，C两点相遇的时间为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （秒），
现分情况讨论如下：
（ⅰ）当0＜t≤1时，S= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ t•4t=3t²；
（ⅱ）当1＜t≤2时，设点D的坐标为（x₂，y₂），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即|y₂|= $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ t× $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t；
（ⅲ）当2＜t＜ $\text{[math]}$ 时，
设点D的坐标为（x₃，y₃），类似（ⅱ）可得|y₃|= $\text{[math]}$ ，
设点C的坐标为（x₄，y₄），∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即|y₄|= $\text{[math]}$ ，
∴S=S_△AOD-S_△AOC= $\text{[math]}$ ×3× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×3× $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ；

（3）当0＜t≤1时，S=3t²，函数的最大值是3；
当1＜t≤2时，S=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t．函数的最大值是 $\text{[math]}$ ，
当2＜t＜ $\text{[math]}$ 时，S=- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ，0＜S＜ $\text{[math]}$ ，
∴S₀= $\text{[math]}$ ．
故答案为：（3） $\text{[math]}$
分析：（1）如果CD∥OB，此时点C，D应分别在线段OA，AB上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t；
（2）本题要分三种情况进行讨论：当D在OD上，C在OA上，即当0＜t≤1时，此时S= $\text{[math]}$ OC•OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；当D在AB上，C在OA上，即当1＜t≤2时，此时S= $\text{[math]}$ OC×D点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；当C，D都在AB上时，即当2＜t＜ $\text{[math]}$ 相遇时用的时间，此时S=S_△AOD-S_△AOC，由此可得出S，t的函数关系式；综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式；
（3）根据（2）的函数即可得出S的最大值．
点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形性质，平行线的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，灵活运用分类讨论及数形结合思想是解本题的关键．