Question

16．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G．
（1）猜想BF、AG、AE的数量关系，并证明你所得到的结论；
（2）如果正方形的边长为2，FG的长为$\frac{2}{5}$，求点A 到直线DE的距离．

Answer 1

分析 （1）要寻找3条线段的数量关系，往往采用作辅助线截长或补短的方法，然后找到其中的关系，本题证明三角形全等是关键．
（2）由全等三角形的性质得出DE=FG，由勾股定理求出AE，再由△ADE面积的计算方法即可得出结果．

解答 解：（1）BF+AG=AE．理由如下：
过点F作FH⊥DA，垂足为H，如图所示：
∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴FH=AB=DA．
∵BD⊥FG，
∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA．
在△FHG和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DEA}&{\;}\\{∠FHG=∠DAE}&{\;}\\{FH=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FHG≌△DAE（AAS）．          
∴GH=AE，即HA+AG=AE．
∵BF=HA，
∴BF+AG=AE．                    
（2）过点A作AM⊥DE垂足为M．如图2所示：
由（1）得：△FHG≌△DAE，
∴DE=FG=$\frac{5}{2}$
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{D{E}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∵AE•AD=DE•AM，
∴AM=$\frac{AE•AD}{DE}$=$\frac{6}{5}$
即点A到直线DE的距离是$\frac{6}{5}$．

点评 此题正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．