Question

7．图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均剪成四个小长方形，然后按图乙所示拼成一个大正方形．
（1）写出图乙中的阴影部分的正方形的边长等于m-n（用含有m、n的式子表示）；
（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积：
方法一：（m-n）²
方法二：（m+n）²-4mn
（3）观察图乙，尝试写出（m+n）²、（m-n）²、mn三个式子之间的等量关系：（m-n）²=（m+n）²-4mn．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=12，求式子（a-b）²的值．

Answer 1

分析 （1）根据图乙中的阴影部分的正方形的边长等于小长方形的长减去宽进行判断；
（2）图乙中阴影部分的面积既可以用边长的平方进行计算，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积进行计算；
（3）根据（m-n）²和（m+n）²-4mn表示同一个图形的面积进行判断；
（4）根据（a-b）²=（a+b）²-4ab，进行计算即可．

解答 解：（1）由题可得，图乙中的阴影部分的正方形的边长等于m-n；
故答案为：m-n；
（2）方法一：
图乙中阴影部分的面积=（m-n）²
方法二：
图乙中阴影部分的面积=（m+n）²-4mn；
故答案为：（m-n）²，（m+n）²-4mn；
（3）∵（m-n）²和（m+n）²-4mn表示同一个图形的面积；
∴（m-n）²=（m+n）²-4mn；
故答案为：（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（4）∵（a-b）²=（a+b）²-4ab，
而a+b=7，ab=12，
∴（a-b）²=7²-4×12=49=48=1．

点评 本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．