Question

如图已知E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠BAC=90°，且BE=AF，求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出即可．
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AE=EC，即平行四边形AECF的邻边AE=EC，易证四边形AECF是菱形．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．

（2）∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF=EC，
∵AF=BE，
∴BE=CE，
又∵∠BAC=90°，
∴AE=

1

2

BC=EC，
又∵四边形AECF为平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．