Question

6．已知a、b、c为实数，且a＞0，b²-ac＜0，x₁，x₂是方程x²-（a+c）x-b²+ac=0的两根．求证：
（1）x₁，x₂都是正数；
（2）若x₁≥x₂，则x₂≤a≤x₁，x₂≤c≤x₁．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出ac＞b²＞0，进而得出两根之和以及两根之积的符号，进而得出答案；
（2）分别利用当x₁=x₂时，当x₁＞x₂时，求出（x₁-c），（x₂-c）异号，进而得出a，c的取值范围．

解答 证明：（1）∵b²-ac＜0，
∴ac＞b²＞0，
∵a＞0，∴c＞0，
∴x₁+x₂=a+c＞0，
x₁x₂=ac-b²＞0，
∴x₁，x₂都是正数；

（2）当x₁=x₂时，△=0，即（a+c）²-4（-b²+ac）=0，
则a²+2ac+c²+4b²-4ac=0，
整理得：（a-c）²+4b²=0，
∴a=c，b=0，
代入方程得：x²-2ax+a²=0，
故x=a，故结论成立；
当x₁＞x₂时，
（x₁-c）（x₂-c）
=x₁x₂-c（x₁+x₂）+c²
=（-b²+ac）-a（a+c）+c²
=-b²＜0，
∴（x₁-c），（x₂-c）异号，
又∵x₁＞x₂，
∴x₁-c＞0，x₂-c＜0，
即x₂＜c＜x₁，
同理可证：x₂＜a＜x₁，
综上所述：x₂≤a≤x₁，x₂≤c≤x₁．

点评 此题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程根的分布，利用分类讨论得出是解题关键．