Question

19．已知抛物线y=mx²+（m-2）x+m-1．根据下列条件，判断m是否存在，若存在，求出m的值．
（1）经过原点；
（2）顶点在y轴上；
（3）最低点在x轴上；
（4）当x＜-$\frac{1}{2}$时y随着x的增大而减小，当x＞-$\frac{1}{2}$时y随着x的增大而增大．

Answer 1

分析 （1）把原点坐标代入可得到关于m的方程，可求得m的值；
（2）由对称轴公式可得到关于m的方程，可求得m的值；
（3）由顶点在x轴上，即最小值为0，可得到关于m的方程，可求得m的值，再结合开口应向上，可求得m的值；
（4）由条件可知其对称轴和开口方向，可求得m的值．

解答 解：
（1）∵抛物线y=mx²+（m-2）x+m-1经过原点，
∴m-1=0，解得m=1；
（2）∵抛物线y=mx²+（m-2）x+m-1，
∴对称轴为x=-$\frac{m-2}{2m}$，
∵顶点在y轴上，
∴对称轴为x=0，即-$\frac{m-2}{2m}$=0，解得m=2；
（3）∵抛物线y=mx²+（m-2）x+m-1最低点在x轴上，
∴抛物线开口向上，且其最小值为0，
∴$\frac{4m（m-1）-（m-2）^{2}}{4m}$=0，解得m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或m=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵抛物线开口向上，
∴m＞0，
∴m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（4）∵当x＜-$\frac{1}{2}$时y随着x的增大而减小，当x＞-$\frac{1}{2}$时y随着x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
∴m＞0，-$\frac{m-2}{2m}$=-$\frac{1}{2}$，
∴m＞0．

点评 本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．